Sistema de numeración aimara: una revisión para su reconstrucción
Aymara number system: a revision for its reconstruction
Wilfredo Bizarro,
1
Henry-Mark Vilca-Apaza
2
y Wilson Sucari
3
Universidad Nacional del Altiplano de Puno, Perú
123
ORCID ID: https://orcid.org/0000-0003-0267-6322
1
ORCID ID: https://orcid.org/0000-0001-6982-7645
2
ORCID ID: https://orcid.org/0000-0001-5874-0966
3
Recibido: 01 de setiembre de 2020 Aceptado: 15 de noviembre de 2020
Resumen
En este trabajo se revisó la literatura del sistema de numeración aimara, su historia,
coexistencias y análisis con respecto a diversas culturas y lenguas, considerando sus tipos,
principios y características. En base a ello, se procede a su reconstrucción original del sistema
de numeración de la lengua aimara, ya que existen antecedentes y evidencias para afirmar
que es un sistema posicional oral, regular, en base decimal, con auxiliar quinaria, además de
aditivo y multiplicativo. Se encontró que la raíz primitiva, el número cinco sería qallqu; base
originaria al que siguen por adición los demás números: maya ‘1’, paya ‘2’, kimsa ‘3’, pusi
‘4’, qallqu ‘5’, maqallqu (maya qallqu ‘1 + 5’), paqallqu (paya qallqu ‘2 + 5’), kimsaqallqu
(kimsa qallqu ‘3 + 5’) y pusiqallqu (pusi qallqu ‘4 + 5’), y tunka ‘10’, en función a ella se
forman un orden maravillosamente precisa, perfecta desde la interpretación intercultural,
lingüística, etnomatemática y matemática.
Palabras clave: Matemática, sistema de numeración, aimara, intercultural,
etnomatemática.
Abstract
In this work, the literature of the Aymara numbering system, its history, coexistence and
analysis with respect to different cultures and languages was reviewed, considering their
types, principles and characteristics. Based on this, it proceeds to its original reconstruction
of the Aymara language numbering system, since there is antecedents and evidence to affirm
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Apuntes Universitarios,
2021: 11(1), enero-marzo
ISSN: 2304-0335 DOI: https://doi.org/10.17162/au.v11i1.591
apuntesuniversitarios.upeu.edu.pe
that it is an oral, regular positional system, in decimal base, with quinary auxiliary, in addition
to additive and multiplicative. The primitive root number five was found to be qallqu;
original base to which the other numbers follow by addition: maya ‘1’, paya ‘2’, kimsa ‘3’,
pusi ‘4’, qallqu ‘5’, maqallqu (maya qallqu ‘1 + 5’), paqallqu (paya qallqu ‘2 + 5’),
kimsaqallqu (kimsa qallqu '3 + 5') and pusiqallqu (pusi qallqu ‘4 + 5’), and tunka ‘10’, based
on it they form a wonderfully precise order, perfect from the intercultural, linguistic,
ethnomathematical and mathematical interpretation.
Keywords: Mathematics, numbering system, Aymara, intercultural, ethnomathematics.
Introducción
La palabra “aimara” deriva de tres palabras compuestas: 1) “jaya”, lejano, antiguo,
antepasado; 2) “mara”, año, años; 3) "aru", voz, lenguaje, hablar. Por lo que sería “jaya mara
aru”, o simplemente "aymara", significa “lenguaje de los antepasados” (Deza, 1989; Durand,
1921; Tarifa, 1969). Según Hardman et al. (2001) el aimara pertenece a la familia lingüística
jaqi, que incluye a: el jaqaru y el kawki, pues se hablaba en Yauyos que actualmente
pertenece en la región Lima provincias, Perú. Existen evidencias arqueológicas y lingüísticas
que los idiomas jaqi datan incluso desde la prehistoria. Hubo un tiempo que se hablaba a todo
el territorio del Perú actual. Parece que los aimaras “fueron empujados hacia el sur en épocas
comparativamente reciente. La separación mayor ocurrió en tiempos del horizonte Huari
(400 – 700 d.c.)” (Hardman, et. al., 2001, p. 4). Por su parte Torero (1987) menciona que la
lengua aimara forma parte de la familia aru junto con jaqaru y el kauki.
Aimara es la lengua hablada en el altiplano sudamericano abarcando los países de
Perú, Bolivia, Chile y Argentina, además en los centros urbanos por movimientos migratorios
(González, 1999). Así el antropólogo y jesuita Albó (1995) afirma que este lengua es hablado
en Bolivia, Perú, norte de Chile y de Argentina. Se “estima el número de hablantes del aimara
en la zona panandina es aproximadamente dos millones” (Mamani, 2007, p. 21). En el tercer
concurso somos patrimonio, se afirma que entre 1879 y 1883 Chile conquistó territorios del
norte que antes pertenecía a Perú y Bolivia en los que 100% de la población era Aimara
parlantes (Convenio Andrés Bello, 2003).
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La lengua aimara es hasta ahora la segunda más importante del mundo andino y la
tercera en importancia numérica entre las lenguas autóctonas de Sudamérica (Bertonio, 1984;
Cerron-Palomino, 2000). Llanque (1990) menciona que cuando se inició la expansión
incaica en el altiplano, estaba dividido en reinos, entre éstos los más poderosos fueron los
Lupacas con su capital Chucuito y los Qollas con su centro Hatuncolla, los otros reinos
fueron: Canas, Collaguas, Ubinas, Pacajes, Carangas, Charcas, Canchis, Quillaguas,
Omasuyos, Collahuayas, entre otros, que abarcan hoy parte del Cusco, Arequipa y Puno en
Perú y La Paz, Oruro, Chuquisaca, Potosí y parte de Cochabamba en Bolivia (Llanque, 1990).
Por su parte, De Lucca (1983) en su diccionario Aimara-Castellano refiere que el Aimara es
una lengua maravillosa desde el punto de vista lingüístico, bien ordenada y uniforme en la
que se encuentra mucho menos irregularidad que en el castellano o cualquier otra lengua
europea; cautiva por la lógica y complejidad de su sistema morfológico y sintáctico (De
Lucca, 1983). Asimismo, Tarifa (1969) califica que el aimara es idioma perfecto. Además de
“clásico, perfecto y admirable” (Vásquez, 2011, p. 36). Por tanto, su sistema de numeración
es también perfecta en su formación y maravillosa.
Cerrón-Palomino (2010), investigador de lenguas quechua, aimara, mochica, uro-
chipaya y puquina, manifiesta que todavía subsisten, en relación con el conocimiento de
nuestras “lenguas mayores” del antiguo Perú, refiriéndose al puquina, aimara y el quechua.
La historia de las tres lenguas mayores de antiguo Perú: el puquina, el aimara y
el quechua, proponiendo los emplazamientos iniciales a partir de los cuales se
expandieron hasta confluir en los Andes centro-sureños durante el Período
Intermedio Tardío. Proponemos que los incas, a lo largo de su dominación,
pasaron por dos etapas de mudanza idiomática: primeramente, del puquina al
aimara y, luego, del aimara al quechua. En apoyo de las hipótesis planteadas
echamos mano de las evidencias de carácter lingüístico, histórico y
arqueológico disponibles (Cerrón-Palomino, 2010, p. 255).
La construcción de los sistemas de numeración en diferentes culturas a través de la
historia se desarrolló a partir de las necesidades, vivencias y experiencias. Así muchos
pueblos emplean sistemas de numeración decimales. Esto se debe a que tenemos diez dedos
en nuestras manos (Perelman, 1973). Por otro lado, había la necesidad de realizar conteo y
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cálculos, ese fue el inicio para crear sus sistemas de numeración y la manera de representar
los números (Rojas-Gamarra & Stepanova, 2015).
Antecedentes históricos antiguos
Haciendo un análisis de las culturas respecto a sus sistemas de numeración: la cultura
egipcia representada por jeroglíficos específicos para cada orden decimal, fue de
sistema decimal, se utilizó el principio aditivo y no posicional, escribían de izquierda a
derecha o de arriba abajo, modificando la orientación de las figuras según el caso, podían
representar números superiores a 10
6
. El Sistema babilónico fue el primer sistema posicional,
(aditivo hasta 60 y posicional para números de orden superior) sexagesimal de base 60,
porque a partir del 60 usaron grupos que iban representando el número de unidades, 60,
60x60, 60x60x60 y así sucesivamente. La cultura china utilizó el sistema decimal,
representado por ideogramas, incorpora el principio multiplicativo, una mezcla de sumas y
productos.
El romano es de tipo no posicional, que incluye el principio sustractivo. Los griegos
emplearon dos tipos de numeración, la Ática y la numeración Jónica o alfabética, la Ática
fue desarrollada alrededor del año 600 a. C, era de carácter aditivo en base 10, el sistema
numeral jónico fue un sistema de tipo aditivo con 27 letras del alfabeto griego.
Las distintas formas de contar de los nuestros pueblos originarios, están íntimamente
relacionadas con la estructura lingüística de dichos pueblos (Belloli, 2009). Además el
conocimiento de la numeración, varía de una etnia a otra y de una familia lingüística a otra
(Sánchez, 2009). Así la base del sistema de numeración Yoruba era 20, de los Mayas era 20,
y de los Incas, 10. Para Keller (2000) este fue un avance notable en el camino hacia la
constitución del sistema de numeración como objeto matemático, puesto que se introduce un
principio interno y multiplicativo al desarrollo de la serie numérica (Blanco-Álvarez, 2009).
Por otro lado, la lengua chibcha, los chimilas (ette), se rige por un principio de paridad que
también establece el lenguaje del parentesco (Le Carrer, 2013).
Respecto a la base cinco, los Khipus serían la escritura numérica de la cultura Inca,
la base para escribir el número la Yupana es el 5 y está dado por el conjunto de símbolos
(Rojas-Gamarra & Stepanova, 2015). Las lenguas conocidas como timote-cuicas en la
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literatura lingüística se hablaban en los andes venezolanos, el sistema opera con base decimal,
pero también hay evidencia clara de un subsistema quinario (Urban, 2015). El sistema de
numeración maya era de base 20 con subbase 5, con uso del cero, fue de sistema aditivo (para
los números del 1 al 19) y posicional (n ≥ 20), ya que el número uno era representada por un
punto, el dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4; el 5 representaba una raya horizontal,
a ella se añadían los puntos para representar 6, 7, 8 y 9, para diez usaban dos rayas, que
continúa hasta el 20 que son cuatro rayas. Según Stanley citado por Fomín (1975), famoso
explorador del África, varias tribus africanas empleaban el sistema quinario. Es evidente la
relación de este sistema con la forma de la mano del hombre, «máquina computadora»
primaria. La lengua aimara como se verá tiene subbase o auxiliar cinco.
Método
Se realizó una revisión de literatura de los sistemas de numeración de diversas
culturas, libros de matemáticas, etnomatemática, artículos científicos, diccionarios de la
lengua aimara y demás recursos relacionados con la temática. Se consideró para su análisis
los tipos, principios y características de los sistemas de numeración, desde la interpretación
intercultural, lingüística, etnomatemática y matemática.
Sistema de numeración
Definición y base del sistema de numeración
El sistema de numeración es un conjunto de reglas para expresar y escribir los
números (Baer & Odic, 2019; Baldor, 1997), empleando la menor cantidad de palabras y
símbolos (Ministerio de Educación España, 2007), asimismo el sistema de numeración se
caracteriza por su base, “que es el número de unidades de un orden que forman la unidad del
orden inmediato superior, así en el sistema decimal, la base es 10, porque 10 unidades del
primer orden forman una decena, diez decenas forman una centena, etc.” (Baldor, 1997, p.
27). Respecto a ello, existen sistemas que se basaron en partes del cuerpo humano como: 5,
10, 12, 20 y 60. Por ejemplo la base cinco a partir de los dedos de la mano, la base diez
utilizando los dedos de las dos manos, la base veinte aparece al utilizar los dedos de las dos
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manos y de los dos pies, la base doce a partir de contar los falanges, la base sesenta aparece
como una combinación de cinco y doce. Cabe mencionar que: “los sistemas orales pueden
usar más de una base en un solo sistema de numeración” (Pilares, 2005, p. 155).
El sistema actual de numeración decimal
El sistema de numeración decimal y posicional es el más utilizado en la actualidad.
Según Cid et al. (2003) el sistema hindú que se desarrolló al norte de India desde el siglo III
a. c. que posteriormente fue asumida por los árabes, quienes han difundido por todo su
imperio, por medio de los contactos comerciales y culturales, incluso “entró en competencia
con el sistema de numeración romano. Lentamente fue ganando adeptos hasta que a finales
del siglo XVIII” quedó definitivamente implantado (Cid et al., 2003, p. 186). Éste es un
sistema de numeración escrito: siendo un “sistema posicional regular de base 10. Los
símbolos que se definen como sabemos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9” (Cid et al., 2003, p.
188).
Por otro lado, es Sistema de numeración oral con algunas irregularidades como
veremos. Asimismo, es un sistema multiplicativo y de base 10 con irregularidades. “Es un
sistema multiplicativo porque define símbolos no sólo para los números anteriores a la base
sino también para la base y sus potencias” (Cid et al., p.189 ). El número 2400 no lo leemos
como "dos cuatro cero cero" sino como "dos mil cuatrocientos", es decir, hacemos referencia
a las potencias de la base "mil" y "cien" o "ciento". Dichas irregularidades dependen del
idioma y en castellano es: a) once, doce, trece, catorce y quince. En un sistema regular se
diría: “dieciuno, diecidos, diecitrés, diecicuatro y diecicinco. b) veinte, treinta, cuarenta,
cincuenta, sesenta, setenta, ochenta, noventa. En un sistema regular diríamos: dos dieces (o
dos decenas), tres dieses, cuatro dieses, etc. c) Quinientos se diría cinco cientos”. (Cid et al.,
p.189).
Otros sistemas basados en objetos, partes del cuerpo y mixtas
Cid et al. (2003) presenta además sistemas de numeración basados en la colección de
objetos: huesos prehistóricos con muescas, objetos ensartados en hilos (collares), objetos
ensartados en varillas (ábacos), caso de los incas representaban números y contaban haciendo
nudos en una cuerda teniendo en cuenta la posición en que estaban situados, éstos “indicaban
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unidades, decenas, centenas, millares, etc., a estas cuerdas se les llamaba quipus” (Cid et al.,
p.192). El mejor ejemplo del método de simbolización es el quipu, un sistema de nudos usado
por los incas y bien documentado (Bishop, 1999).
Uno de los estudios más exhaustivos de los sistemas de contar se llevó a cabo
en Papúa Nueva Guinea y fue comunicado en primer lugar en Lancy (1978) y
también en Lancy (1983). Basándose en los diversos recursos de las dos
universidades allí existentes, Lancy pudo alcanzar 225 sistemas de contar que
fueron agrupados en los cuatro tipos de sistemas siguientes: Tipo 1: Sistemas
basados en contar partes del cuerpo, con el número de partes variando de 12 a
28. Tipo 2: Sistemas que emplean piezas como, por ejemplo, varillas. La base
numérica suele estar entre 2 y 5, Tipo III: bases mixtas de 5 y 20 que emplean
nombres de números compuestos como “dos manos y un pie” para denotar 15
y Tipo IV: sistemas de base 10 con varios nombres discretos para los números
en vez de nombres compuestos” (Bishop, 1999, p. 45).
Sistemas de numeración de las lenguas cercanas al aimara
En el altiplano sudamericano han existido, coexistido y existen diferentes lenguas
como: Puquina, kallawaya, aymara, quechua, uriquilla, ochozuma, cunza, huarpe, uru
chi’mu, uru chipaya, uro iruitu y todas las variedades uru, algunos extintos, pero que están
en proceso de recuperación, aquí se tiene el sistema de numeración de algunas de estas
lenguas:
Uru chipaya
Cerrón-Palomino (2006) respecto a numeralia dice:
al igual que en el puquina y el quechua, el sistema numeral del chipaya es decimal,
sin embargo, de los números cardinales tomados del aimara: (tshii ‘uno’, pizk ‘dos’,
chhep ‘tres’, paqpik ‘cuatro’, phisqa ‘cinco’, sujta ‘seis’, paqallaqu ‘siete’,
kimsaqallaqu ‘ocho’, llatunka ‘nueve’, tunka ‘diez’, más abajo en nótese proporciona
los números cardinales de iru-wit’u: Chhi ‘uno’, piski ‘dos’, chhip ‘tres’, pajpiku
‘cuatro’, tojsnuku ‘cinco’, tajchuru ‘seis’, tunk ‘siete’ qunku ‘ocho’, sanqi ‘nueve’,
qhalu ‘diez’ ” (p. 104).
Puquina
Según Torero (1987) el sistema de numeración puquina es: hukstu ‘uno’, su ‘dos’, kappa
‘tres’, sper ‘cuatro’, takpa ‘cinco’, chichu ‘seis’, stu ‘siete’, kinas ‘ocho’, lcheka ‘nueve’,
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skata ‘diez’. Otra fuente: pesq ‘uno’, so ‘dos’, qapa ‘tres’, sper ‘cuatro’, taqpa ‘cinco’,
chichun ‘seis’, stu ‘siete’, kina ‘ocho’, cheqa ‘nueve’, sqaqa ‘diez’ (Aguiló, 2000).
Kallawaya
Es una variedad lingüística por herbolarios-curanderos ambulantes de Charazani en actual
Bolivia y según Girault (1989) se tiene: uski ‘uno’, suu ‘dos’, kapi ‘tres’, pili ‘cuatro’, chisma
‘cinco’, tama ‘seis’, kajsi ‘siete’, wasa ‘ocho’, huki ‘nueve’, jocha ‘diez’. En este caso,
Aguiló (2000) hace una comparación de los cinco principales idiomas andinos como se
observa en la tabla 1.
Tabla 1
Comparación interlingüística de los numerales
Número
Puquina
Qallawaya
Uru
Quechua
Aimara
1
Pesq
Uksi
Shi
Uj
Maya
2
So
Soo
Pisqe
Iskay
Paya
3
Qapa
Qapi
Chep
Kimsa
Kimsa
4
Sper
Pili
Pakpik
Tawa
Pusi
5
Taqpa
Chisma
Paanuqo
Pisqa
Pisca
6
Chichun
Tajwa
Pachuy
Sojta
Sojata (qallqo)
7
Stu
Kajsi
Tohonqo
Kanchis
Paqallqo
8
Kina
Wasa
Qonqo
Pusaj
Kimsa qallqo
9
Chepa
Nuki
Sanqaw
Isq’on
Lla-tunqa
10
Sqara
Jocha
Qalo
Chunqa
Tunqa
El autor hace una contrastación de los numerales, manifiesta que hay cierto
cognatismo lingüístico entre el Puquina y Qallawaya, estos puntos de convergencia aparecen
en la nomenclatura de 2 =so-soo y el 3 = Qapa – Qapi (Aguiló, 2000). Respecto al curioso
fenómeno de comunicación idiomática del quechua en los números 3 = kimsa, el 5 = Pishqa
y 6 = sojta, afectando exclusivamente el aimara, finalmente el número 10 en el quechua
chunka y el aimara tunca evidencia un cognatismo idiomático (Aguiló, 2000).
Sistema de numeración paralelas al quechua y aimara
“Los numerales léxicos del quechua y del aimara se pueden clasificar en dos
subclases: (a) cardinales y (b) grupales. Seguidamente introduciremos los dos tipos de
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numerales” (Cerrón-Palomino, 2008, p. 191), según se aprecia a continuación en la tablas 2
y 3.
Tabla 2
Numerales cardinales en quechua, aimara y español
Quechua
Aimara
Español
Huk
Maya
'uno'
Iskay
Paya
'dos'
Kimsa
Kimsa
'tres'
Tawa
Pusi
'cuatro'
Pichqa
Phisqa
'cinco'
Suqta
Suxta
'seis'
Qanchis
Paqallqu
'siete'
Pusaq
Kimsaqallqu
'ocho'
Isqun
ña (- lla) tunka
'nueve'
Tabla 3
Numerales de grupo
Quechua
Aimara
Español
chunka
tunka
'diez'
pachak
pataka
'cien'
waranqa
waranqa
'mil'
Como puede apreciarse, señala Cerrón-Palomino (2008, p. 191):
en términos sincrónicos, ambos sistemas numéricos son decimales. No es difícil
advertir, sin embargo cuando comparados entre sí, el del aimara muestra dos
características, explicables históricamente: (a) un sistema originario de base cinco, es
decir quinario, donde se han perdido las raíces primitivas para '3' y '5', pero que para
el último se disponía de qallqu, a estar por las evidencias de paqallqu (paya qallqu
'2 + 5') y kimsaqallqu (kimsa qallqu '3 + 5'); y (b) un reacomodo al sistema decimal
sobre la base del molde quechua, lo que supuso, aparte de los préstamos léxicos
(kimsa, pichqa y suqta), el recurso a la perífrasis para formar el número nueve, que
literalmente significa casi 10.
La interacción milenaria entre las dos familias lingüísticas principales de la región
centroandina, la quechua y la aimara, se presenta como uno de los casos de contacto de
lenguas más espectaculares que se hayan registrado en el mundo entero. Este contacto destaca
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no solo por sus efectos, ricos en consecuencias, sino también por su larga duración, que
podría haber abarcado 2000 años o, inclusive, más tiempo (Adelaar, 2010).
Sistema de numeración aimara
Sistema de Numeración Aimara utilizado actualmente
Para poder contar o medir, se requiere del manejo de números y sus cualidades, así
los aimaras desarrollaron un sistema numérico muy propio (H. Mamani, 2009).
Arias (1990, 2005) presenta analizando los términos en los diccionarios de Bertonio (1984),
De Lucca (1983) y Lucca (1983) y Wilca (1950), tal como se aprecia en la tabla 4:
Tabla 4
Sistema de numeración aimara según autores
BERTOÑO (1612)
Región Lupaca (Altiplano)
LUCCA (1983)
Bolivia: La Paz)
PABLO WILCA (1950)
Zona: Waraya – Moho
Maya (maa)
Maya
Maya (mä)
Paya (paa)
Paya (paa)
Paya (pä)
Quimsa
Quimsa
Kimsa
Pusi
Pusi
Pusi
Phisca (pisca)
Phiskca (kallko)
Phisqa (qallqu)
Chhukha
Sojjta
Suxta
Pacallco
Pakallko
Paqallqu
Quimsacallco
Quimsakallko
Kimsaqallqu
Llallatunca o ñañatunca
Llatunca
Llatukca o ñatunca-pusiqallqu
Tunca
Tunca
Tunka
Haciendo una interpretación aritmética, resumiendo las tres fuentes se tendría:
Maya (mä) Uno
Paya (pä) Dos
Kimsa Tres
Pusi Cuatro
Phisqa o qallqu Cinco
Suxta o maqallqu Seis
Paqallqu Siete
Kimsaqallqu Ocho
Llätukca o ñätunca o pusiqallqu Nueve
Tunka Diez
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Los primeros nueve términos del (del 1 al 9), pueden ser considerados como
dígitos; y en su conjunto los diez, como cantidades. Asimismo, en la actualidad
en el mejor de los casos no existen referencias de los conceptos originales que
nos pueda indicar una relación con objetos o entidades que nos muestren sus
raíces. Sin embargo, existen evidencias claras que el número cinco (qallqu) ha
sido una base auxiliar en la formación y manejo de los números del sistema
aimara. Por otro lado, de acuerdo con las muestras dadas en el cuadro anterior
(tabla 4), existe cierta variación en cuanto se refiere a los números cinco, seis y
nueve (phisqa, suxta y llätunka). Por lo que es necesario hacer una
reconstrucción de números y expresiones actuales que no concuerdan con la
deducción etimológica del aimara hablante. Para ello, previamente se
establecerá algunas listas de términos del sistema de numeración, dados en el
tiempo y espacio del mundo aimara (Arias, 2005, p. 27).
Resulta interesante señalar al paso el uso de un principio sustractivo en la formación
de nombre numéricos de los lexemas primarios del aimara por ejemplo (9 = 10 – 1). El uso
de este principio es inusual, no solo en comparación con el quechua, sino en términos
comparativos más globales (Urton & Llanos, 2003).
“Qallqu” como base auxiliar cinco
Actualmente, el aimara del sur conserva evidencias de la antigua base quinaria. Los
numerales 7 y 8 “son, respectivamente, paqallqu (dos y cinco), kimsaqallqu (tres y cinco).
Esta base quinaria coexiste con la base decimal. La prolongada convivencia del quechua y el
aimara puede sugerir que una y otra lengua tengan el mismo sistema y los mismos
subsistemas componentes” (Pilares, 2005, p. 12). Hurford (1987) citado por Urton & Llanos
(2003) menciona que el aimara muestra evidencias tanto de una base quinaria (base 5, esto
es, 2 + 5 = 7 y 3 + 5 = 8) como de un principio decimal en la formación de los nombres de
números.
Por ello, es necesario averiguar la significación del término “qallqu”, ya que sobre la
base de éste se expresan en la lengua aimara los números siete y ocho, es decir, paqallqu y
kimsaqallqu respectivamente, y en la actualidad están subyacentes en la expresión viva de
los aimara hablantes (Arias, 1990). Según la narración de Wilca
1
(1950) citado por Arias
(2005) “qallqu”, equivale a decir “qallu”, “comienzo de vida o recién nacido”. Para ver si
esto es posible, hagamos un análisis de las siguientes expresiones en la tabla 5:
1
Hablante y narrador aimara.
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Tabla 5
Significado del término “qallu” (Arias, 2005)
Bertoño (1612: 34)
Región Lupaca (Altiplano)
Lucca (1983:217)
Bolivia: La Paz)
Pablo Wilca (1950)
Zona: Waraya - Moho
Callu: la mitad, o un lienzo de
cualquier cosa, coserlos: pay
callu cchucuthapitha/cordero y
dizece de todos los animales y
paxaros
Anocaracallu;
Cachorro
Callu uta: casa de moxinete
de dos aguas
Kallu: cría, animal mientras
esté criándose/ una de las dos
piezas que se conforman un
poncho, un awayu, etc.
Kallu uta: Casa de techo con
dos aguas
Qallu: Una de las mitades de
algo que conforma el todo/
cría de cualquier animal.
Qallu uta: casa de techo con
dos aguas iguales
El término “qallu” en versión de las tres fuentes de información, una de las
significaciones que tiene es: “mitad de algo”. El número cinco por su parte significa
también la mitad o una parte de diez; esto no por pura coincidencia. De manera que el
témino “qallu” con el término “qallqu” guarda una aproximación semántica.
Asimismo, este último hasta hoy se mantiene formando términos numéricos como
“paqallqu” “kimsaqallqu”, y no representando el número cinco como debió ser; y que
posiblemente, en el decurso tempoespecial es desplazado por el témino “phisqa” (que
puede ser témino puquina o quechua). ¨Por su parte el término “qallu” sigue en
vigencia, con una significación muy parecida al témino “qallqu”, pero referida a objetos
concretos como es la mitad de una frazada o un poncho o un lienzo. Todo esto, en
definitiva, nos conduce a sostener que el verdadero término que corresponde en la
lengua aimara al número “cinco” es “qallqu”, el mismo que en la actualidad ya no se
usa como debió usarse anteriormente, por lo que es adecuado y no sólo eso, sino,
coherente tomarlo nuevamente y ponerlo en vigencia” (Arias, 2005, p. 28).
Para complementar lo expuesto, Guitel nos dice que el hombre en sus orígenes
recurre a las diferentes partes de su cuerpo para contar y que este cuerpo
humano ha contribuido a dar una base a la numeración. La mano ofrecía una
cualidad muy importante, se le podía considerar como formada por la
yuxtaposición de sus cinco dedos, pero no se podía olvidar que la mano formaba
un todo. Por su parte, los hombres de la cultura aimara recurrieron a la cabellera,
donde a partir de cuatro trenzas pequeñas confluentes a una trenza grande que
es la principal, lograron formar y codificar los números: “maya”, “paya”,
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“kimsa”, “pusi”, “qallqu”, “maqallqu”, “paqallqu”, “kimsaqallqu” y
“pusiqallqu”. La trenza principal viene a representar al número “qallqu”
(cinco), y los de mayor valor a “qallqu” hasta el número “pusiqallqu” inclusive,
se forman a partir de éste. Para un mejor entendimiento analicemos la siguiente
tabla 6 (Arias, 2005, p. 29).
Tabla 6
Estructura original de numeración aimara
Bertonio
(1612: 34)
Lucca
(1983:217)
Pablo Wilca
(1950)
*Callu – chatha
Trenzar el cabello.
**callu – cha: Una
trenza de cabello.
Kallu – chatha ¿?
Kallu – cha: Trenzas pequeñas de cabello que
luego se unen a dos principales.
Kalluchaña: Parto, etc. / cuando el cabello es un
poco corto, hacerse unas dos o cuatro trenzas
pequeñas que luego se unirán a las dos trenzas
principales
Kallutiyiri: autor, el que es causa de una cosa
Qallu – chatha:
Cabellera trenzada
de manera peculiar.
Kallu – cha:
Trenzas pequeñas
de cabello que se
unen a la trenza
principal.
El primer caso (*), “qalluchatha” en dos versiones significa la acción de trenzar o
entrelazar. Y en el Segundo caso (**) “qallucha” en las tres versiones existe una
aproximación bastante cercana en sus significaciones, pues significa pequeñas trenzas que se
unen a la principal, finalmente “Qalluchaña” significa, entre otras, hacerse dos o cuatro
trenzas pequeña que luego se unirán a las dos trenzas principales (Arias, 2005). Por otro lado,
si consideramos el témino “Kallutiyiri”, cuyo significado es de “autor, el que es causa de una
cosa” (Lucca, 1983:217), “qallqu” es originador de los números que le siguen hasta el
pusiqallqu”. Es decir estas inferencias no son caídas del cielo, sino son el resultado de
vivencias experiencias reales y que al codificarlo como número el término “qallqu”, en qall-
que es raíz del verbo “comenzar” o comienzo” se le agrego el sufijo “-qu”, conviertiéndose
en nominal y distinguirlo de los demás términos que se asemejan en significación y que
corresponde a otros hechos también importantes y que no se refieren al campo matemático
(Arias, 2005).
Históricamente el significado del cinco “qallqu” en la cultura aimara tiene
mucha importancia, porque el espacio-geopolítico de la nacionalidad aimara estaba
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dividido en cuatro regiones unidas por una capital que viene a ser el centro (taypi) de
la organización administrativa de las cuatro regiones asociadas: el pusinti suyo (cuatro
regiones del sol) y que en la cultura quechua se denomina como tawantinsuyu. Se debe
recordar que la cultura aimara se extendió en el imperio incaico muchos miles de años
antes de la cultura quechua y que los primeros incas y toda la región cuzqueña era del
habla aimara (Arias, 2005).
En la filosofía aimara pusinti + suyo es representado por una pirámide cuya base es
el cuadrado (Arias, 2005). El término “qallqu” que viene a ser la quinta unidad, coincide con
la cúspide y centro “taypi”, en la que este último viene a ser el equilibrio armónico de las
regiones asociadas. Por ello, pusinti significa convergencia de cuatro elementos o
concurrencia de políticas, ideas, etc. (Arias, 2005).
Reconstrucción original del sistema de numeración aimara
Analizando la siguiente tabla 7, vemos que el aimara tiene una regularidad
sorprendente en comparación con el castellano.
Tabla 7
Estructura original de la numeración aimara
Aimara
Interpretación
aritmética
sistema aimara
Castellano
Interpretación
aritmética
sistema decimal
Maya (mä)
1
Uno
1
Paya (pä)
2
Dos
2
Kimsa
3
Tres
3
Pusi
4
Cuatro
4
Qallqu
5
Cinco
5
Maqallqu
1 + 5
Seis
6
Paqallqu
2 + 5
Siete
7
Kimsaqallqu
3 + 5
Ocho
8
Pusiqallqu
4 + 5
Nueve
9
Tunka
10
Diez
10
Los números maya (1), paya (2), kimsa (3) y pusi (4), enlazados o antepuestos a
qallqu (5), como partes enteras de cinco, de tal manera que forman términos compuestos
resultan las expresiones maya qallqu o maqallqu (1 + 5), paya qallqu o paqallqu (2 + 5) y
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kimsa qallqu o kimsaqallqu (3 + 5), Pusi qallqu o Pusiqallqu (4 + 5), tal como corroboran
Arias (2005), Urton (2003), Cerrón-Palomino (2008) y Pilares (2005). En el caso del número
tunka (10), como manifiesta Arias (2005) provendría de la lengua uro chipaya “tschuk
h
ara”
que significa “la segunda mano o las dos manos juntas”. Esto enfatiza el uso de las manos en
el conteo (Arias, 2005).
Numeración del 11 al 19 en comparación con el castellano
Una regularidad maravillosamente precisa en cuanto a la oralidad, como se ve en la
tabla 8:
Tabla 8
Estructura original de la numeración aimara del 11 al 19
Aimara
Interpretación
aritmética sistema
aimara
Castellano
Interpretación
aritmética sistema
decimal
Tunka mayani
10 + 1
Once *Dieciuno
11
Tunka Payani
10 + 2
Doce *Diecidos
12
Tunka kimsani
10 + 3
Trece *Dieciuno
13
Tunka pusini
10 + 4
Catorce *Diecuatro
14
Tunka qallquni
10 + 5
Quince *Diecicinco
15
Tunka maqallquni
10 + 6
Diecisiés
10 + 6
Tunka paqallquni
10 + 7
Diecisiete
10 + 7
Tunka kimsaqallquni
10 + 8
Dieciocho
10 + 8
Tunka pusiqallquni
10 + 9
Diecinueve
10 + 9
Como se observa en tabla 8, a partir del 11 presenta un sistema de numeración oral
regular, con principio aditivo, remitiendonos a Cid et al. (2003) y otros, mientras que en el
Castellano presenta irregularidades como, “once, doce, trece, catorce y quince, en un sistema
regular se diría: dieciuno, diecidos, diecitrés, diecicuatro y diecicinco” (Cid, et. al. 2003, p.
189). Mamani (2009) manifiesta que esto genera confusiones en el aprendizaje de la
numeración, refiriendo a los niños de habla castellana, dicen: “diez y uno”, “diez y dos”, etc.
dentro del aimara, no hay posibilidad de confusión puesto que existe una sola regla para la
composición de los números. En esta cualidad de la matemática aimara sugiere la
conveniencia de enseñar la numeración a partir de su idioma materno.
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De otra manera, como dice Schroeder (2005), se podría obstaculizar el desarrollo del
pensamiento matemático, puesto que los sistemas numéricos de su lengua y del castellano
pueden estar basados en lógicas distintas. Según investigaciones se puede comprobar que
los niños aimaras y ashánincas obtienen mejores resultados en matemáticas cuando la materia
es impartida en el idioma materno y el material de trabajo es adaptado al contexto lingüístico
y socio cultural (Mamani, 2009); ellos adquieren un profundo concepto numérico (Schroeder,
2005). Por otro lado, para contar de 10 a más en aimara se le añade el sufijo –ni, tenemos por
ejemplo 12 = tunka payani (tunka = 10 + paya -ni =2).
Numeración del 20 al 29 en comparación con el castellano
Tabla 9
Estructura original de la numeración aimara del 11 al 19
Aymara
Interpretación
aritmética
sistema aimara
Castellano
Interpretación
aritmética sistema
decimal
Pä tunka
2 (10)
Veinte
20
Pä tunka mayani
2 (10) + 1
Veintiuno
20 + 1
Pä tunka Payani
2 (10) + 2
Veintidos
20 + 2
Pä tunka kimsani
2 (10) + 3
Veintitres
20 + 3
Pä tunka pusini
2 (10) + 4
Veinticuatro
20 + 4
Pä tunka qallquni
2 (10) + 5
Veinticinco
20 + 5
Pä tunka maqallquni
2 (10) + 6
Veintiseis
20 + 6
Pä tunka paqallquni
2 (10) + 7
Veintisiete
20 + 7
Pä tunka kimsaqallquni
2 (10) + 8
Veintiocho
20 + 8
Pä tunka pusiqallquni
2 (10) + 9
Veintinueve
20 + 9
Numeración de decenas, centenas, unidades de millar, etc.
en comparación con el castellano
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Tabla 10
Estructura original de la numeración aimara mayores
Aimara
Interpretación
aritmética
sistema aimara
Castellano
Interpretación
aritmética sistema
decimal
Tunka
10
Diez
10
Pä tunka
2 (10)
Veinte
20
Kimsa tunka
3 (10)
Treinta
30
Pusi tunka
4 (10)
Cuarenta
40
Qallqu tunka
5 (10)
Cincuenta
50
Maqallqu tunka
6 (10)
Sesenta
60
Paqallqu tunka
7 (10)
Setenta
70
Kimsaqallqu tunka
8 (10)
Ochenta
80
Pusiqallqu tunka
9 (10)
Noventa
90
Pataka
100
Cien
100
Pä pataka
2 (100)
Doscientos
200
Kimsa pataka
3 (100)
Trescientos
300
…
Mä waranq’a
1000
Mil
1000
Pä waranq’a
2 (1000)
Dos mil
2 (1000)
…
Tunka waranq’a
10 (1000)
Diez mil
10 (1000)
Tunka mayani waranq´a
11 (1000)
Once mil
11 (1000)
…
Pataka waramq’a
100 (1000)
Cien mil
100 (1000)
Pataka tunkani waranq’a
110 (1000)
Ciento diez mil
110 (1000)
…
Junu
1 000 000
Millón
1 000 000
Pä junu
2 (1 000 000)
Dos millones
2 (1 000 000)
En castellano: “veinte, treinta, cuarenta, cincuenta, sesenta, setenta, ochenta, noventa.
En un sistema regular se diría: dos dieces (o dos decenas), tres dieses, cuatro dieses, etc”
(Cid, et. al. 2003, p. 189). Los demás si presenta regularidad, en cuanto al aimara Mamani
(2009, 2013) presenta la siguiente tabla 11 sobre la numeración decimal aimara.
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Tabla 11
Numeración decimal aimara
Número
Aimara
Castellano
0
Chu’sa
Cero
1
Maya
Uno
10
Tunka
Diez
100
Pataka
Cien
1000
Waranqha
Mil
10 000
Tunka waranqha
Diez mil
100 000
Pataka waranqha
Cien mil
1 000 000
Junu
Millón
1 000 000 000 000
Junjunu
Billón
1 000 000 000 000 000 000
Junkisawayta
Trillón
10
24
Junpusiwayta
Cuatrillón
10
60
Juntunkawayta
Decillón
Principio aditivo y multiplicativo del aimara
El aimara presenta también el principio aditivo y multiplicativo, como se observa en
la tabla siguiente (12).
Tabla 12
Ejemplo de principio aditivo y multiplicativo
Según el principio aditivo
Según la segunda regla de multiplicación
Tunka mayani: 10 + 1 = 11
Paqallqu pataka: 7 x 100 = 700
Pataka kimsaqalquni: 100 + 8 = 108
Pusiqallqu waranq’a: 9 x 1000 = 9000
Pataka tunkani: 100 + 10 = 110
Tunka waranq’a: 10 x 1000 = 10 000
Pataka tunka payani: 100 + 10 + 2 = 112
kimsa tunka waranqa: (3 x 10) x 1000 = 30 000
Waranq’a pusini: 1000 + 4 = 1004
Pusi tunka waranqá: 40 (1000)
Waranq’a pataka tunkani: 1000 + 100 + 10 = 1110
Waranq´a waranq’a: 1000 x 1000
Conclusiones
El sistema de numeración aimara tuvo un sistema originario posicional oral, regular,
en base decimal, con auxiliar quinaria, el qallqu ´5’, que es la base auxiliar y que por adición
siguen los demás números tal como se ha observado: maqallqu (maya qallqu ‘1 + 5’),
paqallqu (paya qallqu '2 + 5'), kimsaqallqu (kimsa qallqu '3 + 5') y pusiqallqu pusi qallqu ‘4
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+ 5’). Para contar los números a partir de número diez a más se le añade el sufijo –ni, tenemos
por ejemplo 12 = tunka payani (tunka = 10 + paya -ni =2).
Por ende, la lengua aimara presenta un sistema de numeración oral regular, con
principio aditivo a su vez multiplicativo, tal como se muestra en las tablas 8, 9 10 y 11.
Haciendo un análisis comparativo con las otras lenguas, es perfecta en su formación a nivel
lingüístico, etnomatemático y matemático; bien ordenada y uniforme en la que no se
encuentran irregularidades, tal como anteceden los investigadores. Por tanto, los aimaras
desarrollaron un sistema numérico suigéneris. Para el proceso de enseñanza - aprendizaje en
la lengua aimara, no hay posibilidad de confusión puesto que existe una sola regla para la
composición de los números en comparación con el castellano que obstaculiza el desarrollo
del pensamiento matemático, esto según las experiencias de trabajo con niños aimara
hablantes.
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